Comment calculer un taux de variation ?

Qu’est-ce qu’un taux de variation ?

Le taux de variation permet de mesurer l’évolution entre deux valeurs sur une période donnée (1 an, 6 mois, 7 jours, etc). Ce taux de variation est donné en pourcentage, qu’il soit négatif ou positif. 

Comment calculer le taux de variation ?

On mesure la variation de deux valeurs entre deux dates : une valeur de départ (la plus ancienne) et une valeur d’arrivée (la plus récente). Pour cela :

• il faut calculer la variation absolue c’est-à-dire la différence entre la valeur d’arrivée et la valeur de départ ;
• on divise cette valeur par la valeur de départ ;
• on multiplie le tout par 100.

Si on note Va la valeur d’arrivée et Vd la valeur de départ on a :

Taux de variation = ((Va – Vd) / Vd) x 100

Exemple :
En 2006, un français dépensait en moyenne 60 euros au restaurant. En 2015, il dépense désormais en moyenne 110 euros. Calculez le taux de variation de la dépense moyenne d’un français au restaurant entre 2006 et 2015.

D’abord, il faut identifier la valeur d’arrivée Va, ici 110, (la plus récente) et la valeur de départ Vd, 60 (la plus ancienne).

Ainsi, on obtient :

((110 – 60) / 60) x 100
= (50 / 60) x 100
≃ 83

Pour lire et interpréter le résultat : « Entre 2006 et 2015, la dépense moyenne d’un français au restaurant a augmenté d’environ 83 %. »

Attention : lorsque tu effectues le calcul, il ne faut pas inscrire le symbole % à côté du résultat. Le résultat reste une valeur, il faut indiquer le % seulement lors de l’interprétation du résultat. 

A quoi sert le taux de variation ?

Tu peux être amené à utiliser la formule du taux de variation dans plusieurs domaines. Au lycée, tu l’appliques surtout en cours de mathématiques et de sciences économiques et sociales (SES), mais pour des intérêts différents.

En mathématiques

Au collège, tu avais appris à calculer un pourcentage. Désormais, dans l’enseignement de mathématiques, la formule du taux de variation est utile durant toute ta scolarité au lycée. Le taux de variation représente une notion essentielle en mathématiques que tu dois acquérir dès l’entrée au lycée. Ainsi, dès le programme de maths en seconde, tu es attendu sur plusieurs points : 

• passer d’une formulation additive traduite en pourcentage (« augmenter de 5 % », respectivement « diminuer de 5 % ») à une formulation multiplicative traduite grâce au coefficient multiplicateur (« multiplier par 1,05 », respectivement « multiplier par 0,95 ») ;
• calculer un taux d’évolution entre deux valeurs, l’exprimer en pourcentage ;
• appliquer un taux d’évolution pour calculer une valeur finale ou initiale ;
• calculer le taux d’évolution équivalent à plusieurs évolutions successives ;
• calculer un taux d’évolution réciproque ;
• taux de variation entre deux valeurs de la variable x sur une fonction mathématique.

En sciences économiques et sociales (SES)

Dans l’enseignement de sciences économiques et sociales (SES), tu es amené à utiliser le taux de variation dans le cadre de problématiques économiques : évolution du PIB, du chômage, de chiffre d’affaires, de produits vendus, etc.

Si tu choisis la spécialité SES en première puis en terminale, tu seras susceptible de calculer et lire des taux de variation, des points de pourcentage, des taux de variation cumulés, des coefficients multiplicateurs ou des indices simples, que ce soit pour la dissertation ou les parties 2 et 3 de l’épreuve composée.

Exemple : 
Imaginons un tableau de l’INSEE sur le nombre de chômeurs en France métropolitaine entre 2009 et 2019.

Comparons l’évolution du nombre de personnes au chômage entre 2012 et 2013. La valeur de départ étant le nombre de personnes au chômage en 2012, soit 3 130 000, et la valeur d’arrivée étant celui en 2013, 2 800 000.

Ainsi, on obtiendrait :  
((2 800 000 – 3 130 000) / 3 130 000) x 100
= (- 330 000 / 3 130 000) x 100
≃ – 10,54

Lecture du résultat 

En SES, la lecture du résultat est très importante. Pour lire et interpréter un taux de variation, tu as besoin de :

• la source,
• le lieu,
• les deux dates afin d’indiquer la date de l’évolution,
• spécifier s’il s’agit d’une hausse (résultat positif), ou d’une baisse (résultat négatif).

De ce fait, la lecture correcte serait ici : « En France, entre 2012 et 2013, selon l’INSEE, le nombre de chômeurs a diminué d’environ 10,54 % ».

Pièges à éviter

Ne pas confondre baisse et ralentissement

Par exemple, si un taux de variation passe de 27 % à 22 %, il ne s’agit pas d’une baisse, mais d’un ralentissement. Bien qu’il soit inférieur à 27 %, le taux de variation reste positif. La variable étudiée continue alors d’augmenter, mais de façon moins rapide qu’avant.

Alors que si le taux de variation passe de 10 % à -5 %, il s’agit bien d’une baisse. Le taux de variation est négatif, la variable étudiée diminue. 

Comparer deux taux de variation

Pour comparer deux taux de variation, il suffit simplement de soustraire l’un à l’autre. Toutefois, la différence se fait dans l’interprétation. En effet, on exprimera le résultat en points de pourcentage et non pas en pourcentage.

Exemple :
Si le taux de croissance du PIB en France était de 8 % en 2006 et de 3 % en 2009, alors la comparaison devra s’exprimer ainsi :

« En France, le taux de croissance du PIB a connu une baisse de 5 points de pourcentage entre 2006 et 2009. »

Variantes du taux de variation 

Coefficient multiplicateur

Le coefficient multiplicateur est un indicateur de comparaison pour mesurer le rapport entre deux variables, à savoir combien de fois l’une est plus grande/petite que l’autre.

Il se calcule ainsi :

coefficient multiplicateur = valeur d’arrivée / valeur de départ

Exemple :
Le nombre d’habitants dans une ville passe de 20 000 en 2005 à 40 000 en 2013, alors la population aura été multipliée par 2.

En revanche, si tu as à ta disposition le pourcentage,  la formule est la suivante : 1+t/100. Cependant, si t est positif alors le coefficient est supérieur à 1 alors que si t est négatif alors le coefficient est inférieur à 1.

Exemple :
Si le nombre d’habitants dans une ville a augmenté de 37 % entre 2007 et 2012, alors la population aura été multiplié par 1,37 (1 + 37/100), passant de 20 000 à 27 400 habitants (20 000 x 1,37).

A noter qu’il est aussi possible de calculer le taux d’évolution en passant par le coefficient multiplicateur :

Taux de variation = (coefficient multiplicateur – 1) x 100

Taux de variation global 

Le coefficient multiplicateur global est égal au produit des coefficients multiplicateurs successifs sur plusieurs périodes. Il se calcule avec le coefficient multiplicateur global : (1+t¹) x (1+t²) x …

Exemple :
Une boucherie voit ses ventes augmenter de 10 % en 2015 et diminuer de 5 % en 2016. Calculez le taux d’évolution des ventes sur les deux d’années. 

Le coefficient multiplicateur correspondant à l’augmentation en 2015 est :
1+10/100 = 1,1

Le coefficient multiplicateur correspondant à la baisse en 2016 est :
1 – 5/100 = 0,95

Le coefficient multiplicateur sur l’évolution durant les deux années est :
1,1 x 0,95 = 1,045 

Le taux d’évolution global est alors égal à :

(1,045 – 1) x 100
= 0,045 x 100
= 4,5

Le taux de variation global des ventes sur les deux années est alors de 4,5 %.
Sur les deux années, les ventes de la boucherie ont globalement augmenté de 4,5 %. 

Taux de variation réciproque

Le taux de variation réciproque représente le taux permettant de revenir de la valeur d’arrivée à la valeur de départ.

n cherche la valeur de t’ telle que (1+t’)x(1+t)=1 où t correspond au pourcentage associé à la variation initiale pour passer de la valeur de départ à la valeur d’arrivée. 

Attention, si un produit augmente de 20 %, il ne suffit pas de le baisser de nouveau de 20 % pour revenir à sa valeur initiale. 

Exemple :
Un objet est vendu 20 euros. Son prix connaît une hausse de 25 %.

Son nouveau prix sera donc 20 x (1 + 0,25) = 25.

Soit t’, le taux d’évolution réciproque. Pour retrouver la valeur initiale de l’objet, on doit alors avoir 20 x (1 + 0,25) x (1 + t’) = 20.

Autrement dit : 1,25 x (1+t’) = 1 et, par conséquent 1 + t’ = 1/1,25

Ainsi, le taux de variation réciproque ici est égal à : t’ = 1/1,25 – 1

Alors t’ = -0,2 soit -20 %.

On dit alors que le taux de variation réciproque de 25 % est – 20 %. Autrement dit, pour compenser la hausse de 25% il faut une baisse de 20 %.

Maintenant que tu as à ta disposition tout ce qu’il te faut pour maîtriser le taux de variation, on espère te voir réussir aux épreuves du bac de maths et de SES !

Pour plus d’infos sur les taux de variation, consulte nos leçons de mathématiques et nos cours de SES ! Regarde également les vidéos de la chaîne YouTube superBac !