Le spectre d’amplitude d’un signal périodique
A) Différents signaux
De nombreux signaux analogiques ou numériques sont utilisés dans les communications entre machines ou entre humains. Le support est, le plus souvent, une tension mais ce peut être une onde électromagnétique (radio, TV, radar), une onde lumineuse ou infrarouge (fibres optiques) ou une onde sonore.
L’information transportée est :
un message audio (parole, musique) ;
un message vidéo (image TV) ;
un message binaire ;
un signal analogique de l’état d’un capteur.
Une façon naturelle de connaître un signal est d’observer son allure en fonction du temps, ou représentation temporelle. On observe ainsi plusieurs types de signaux :
Remarque
Le bruit n’est pas un signal périodique.
B) La représentation fréquentielle d’un signal
Un signal continu a une représentation temporelle horizontale, ici s(t) = 5 en noir.
Un signal sinusoïdal a une forme caractéristique, ici s1(t) = 3 sin (2Π t) en violet.
Un signal sinusoïdal associé à une composante continue donne : s2(t) = 3 + 2 sin (4Π t) en vert.
Évolution temporelle des signaux s, s1 et s2
Un signal sinusoïdal s’écrit :
Amplitude en fonction de la fréquence
La représentation en fréquence d’un signal est un graphe faisant apparaître l’amplitude en fonction de la fréquence :
s(t) apparaît pour la fréquence f = 0 et une amplitude égale à 5 ;
s1(t) = 3 sin (2Π t) = 3 sin (2Π × 1 × t) a une amplitude valant 3 pour une fréquence f = 1 Hz. Il est représenté par un segment vertical d’amplitude 3 à la fréquence f = 1 Hz ;
s2(t) = 3 + 2 sin (4Π t) = 3 + 2 sin (2Π × 2 × t) a une amplitude valant 2 pour une fréquence f = 2 Hz. Il est représenté par un segment vertical d’amplitude 2 à la fréquence f = 2 Hz, et sa composante continue par un segment vertical d’amplitude 3 pour f = 0.
C) La décomposition d’un signal périodique
Il est possible de trouver le spectre d’amplitude d’un signal périodique avec la décomposition en série de Fourier. En effet, le mathématicien Fourier a démontré que la fonction x(t), de forme quelconque, mais périodique de période To, peut s’écrire sous la forme suivante :
x(t) = X0 + X1sin(2Π.f1 t + ϕ1) + X2sin(2Π.2f1 t + ϕ2) + X3sin(2Π.3f1 + ϕ3) +… + Xnsin(2Π.nf1 t + ϕn),
avec X0 la valeur moyenne du signal, X1 l’amplitude du fondamental, X2 l’amplitude de l’harmonique 2, …, Xn l’amplitude de l’harmonique nx.
La première fréquence f1 est le fondamental, c’est la fréquence du signal. L’harmonique de rang n est à la fréquence nf1.
Cette décomposition peut aussi s’écrire de la façon suivante :
x(t) = X0 + Σ Xnsin(2Π nf1 t + ϕn).
Le spectre représentant les amplitudes Xn en fonction de la fréquence n f1 a l’allure suivante :
Le spectre d’un signal périodique est toujours un spectre de raies, qui ne peuvent se trouver qu’aux fréquences nf1.
Exemple
Un signal périodique a une fréquence f = 170 Hz. Il comporte aussi un harmonique de fréquence f n = 850 Hz. En faisant le rapport = = 5, on en déduit qu’il s’agit de l’harmonique de rang 5.
Remarque
Deux signaux périodiques ayant le même spectre peuvent avoir des formes différentes ! Le spectre en fréquence ne suffit pas à caractériser un signal.
La transmission d’un signal périodique
Pour transmettre un signal complexe sans le détériorer, il faut déterminer l’intervalle de fréquence nécessaire pour le nombre d’harmoniques choisis. L’analyse de Fourier aide au choix du dernier harmonique à conserver.
Ainsi, pour un signal de fréquence f1 = 250 Hz, comportant des amplitudes importantes jusqu’au septième harmonique, il faut un intervalle de fréquence minimal de 7 f1 = 1 750 Hz = 1,75 kHz.