Ajustement affine

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A) Ajustement affine par une méthode graphique

Exemple

On reprend le nuage de points de l’exemple du paragraphe ➀ A. On se propose de faire des prévisions pour le nombre d’habitants de la ville nouvelle à partir des données relevées entre 1990 et 2020.

Un moyen d’y parvenir est de tracer « au jugé » une droite 𝔇 passant le plus près possible des points du nuage et d’admettre que les nombres d’habitants yi et les rangs de l’année xi sont liés par l’équation yaxb de 𝔇.

On peut, par exemple, prendre pour droite 𝔇 la droite passant par le point moyen G et par le point A(5, 21). Une équation de cette droite est y = 1,1x + 15,5. La droite 𝔇 est tracée sur la figure au ➀ B.

En remplaçant x par 35 dans l’équation de 𝔇, on obtient y = 54. On peut estimer à 54 000 le nombre d’habitants en 1990 + 35 = 2025.

On peut choisir une autre droite...

B) Ajustement affine par la méthode des moindres carrés

Exemple

Une entreprise fabriquant du matériel médical s’intéresse au lien entre ses dépenses publicitaires et son chiffre d’affaires : elle recueille les données suivantes, exprimées en millions d’euros, ­portant sur cinq périodes où les dépenses publicitaires sont notées x1, x2, …, x5 et les chiffres d’affaires y1, y2, …, y5.

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Représentons ces données par cinq points Mi dans un repère où des dépenses publicitaires xi sont en abscisses et les chiffres d’affaires yi en ordonnées. Le point moyen du nuage est G(3,1 ; 65,8).

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Vérifiez-le !

La méthode des moindres carrés consiste à prendre pour droite d’ajustement du nuage de points une droite 𝔇 telle que la somme des carrés P1M12 + … + P5M52 soit minimale.

D’où le nom : « moindres carrés ».

Une équation de la droite 𝒟, aussi appelée droite de régression de y en x s’obtient directement avec une calculatrice ou un tableur. En arrondissant les coefficients à 10–3, on obtient dans cet exemple y = 12,768x + 26,219.

C) Déterminer une équation de la droite de régression à l’aide d’une calculatrice

Exemple

Le tableau ci-dessous donne le chiffre d’affaires du e-commerce en France entre 2011 et 2017. Il s’exprime en milliard d’euros et est arrondi au dixième.

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On souhaite utiliser une calculatrice pour ajuster le nuage des points de coordonnées (xiyi) à l’aide d’une droite d’équation y = axb, puis exploiter cette équation pour effectuer une prévision.

a) Procédure sur une calculatrice CASIO

Se placer dans le menu d8b18afd-ee43-4767-aeb2-434083cd25fd. Effacer le contenu des listes par a5ae04e1-966b-4c4b-b2b7-9d0c8c6be785. Entrer les valeurs xi en List 1 et les valeurs yi en List 2. Régler les colonnes pour le calcul par 8862f563-21e8-4dda-950e-e523de66c9c8a5f41ce2-33ea-41de-aace-7809c3ca7e94 puis 2Var X List : List 1 ; 2Var Y List : List 2 ; 2 Var Freq : 1 ; 3806c72e-5fd4-4fcd-9505-5aa42c12f8ab.

Afficher les résultats de la « régression linéaire » (ajustement affine) par 898948ba-ef3f-4033-8961-961ed17148d028367cd8-168b-4598-8074-7c0f7492af54.

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b) Procédure sur une calculatrice TI

Se placer dans le menu de statistique par la touche 1d45c552-21dd-4166-bf2d-ee0b008a90e3. Effacer les listes par a8bcdc91-6e6c-4f1f-af31-02fd58ea3c05 4 : EffListe L1, L2 (les noms des listes L1 et L2 sont au clavier). Entrer les données par 91125136-b7fa-44ee-a18e-a2780f33c607 1 : Modifier puis saisir les xi en L1 et les yi en L2.

Afficher les résultats de la « régression linéaire » (ajustement affine) par 2056f092-4bed-4f39-8b00-2eef9143f7ed CALC 4 :RegLin(ax+b) Xliste : L1 , Yliste : L2 79680ff1-be99-4290-9e5c-825dfadf1389.

12e79c25-e384-47e8-90bc-a24f78d302e6

9fa4325c-a2f7-492b-95f5-b25e270a2307

c) Procédure sur une calculatrice NumWorks

Se placer dans l’application 1e1dd2b1-e7c3-4382-ae14-988c91de887d. Pour effacer des données, se placer dans l’onglet 81a09100-55b3-4a0a-892f-f0f81d9655c5, sélectionner le nom d’une colonne, faire 088ad261-c870-4711-b375-3f9b7b6c206e puis 0b373de7-11f2-4a8a-81c9-a21b102a35ed.

Sous l’onglet 304c77c7-9839-400c-9118-161cb07474a4, entrer les valeurs dans les colonnes 162fc0dc-51c7-47e3-9b0e-447da43a2e99 et 04197391-8908-469d-ae0d-073ba786d42c.

Sélectionner l’onglet 2a2681d5-76be-44ef-9501-79f4b628ad78 pour afficher les calculs statistiques.

5a2b8d68-44a4-49ea-97c0-45b081006b24  89240edf-e9f8-4d37-963c-b13537a215af

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