Succession d’épreuves

Lorsqu’on effectue une succession d’épreuves, celles-ci ne sont pas nécessairement indépendantes. Dans ce cas, on peut calculer les probabilités des événements considérés à l’aide d’un arbre.

I) Représentation d’une succession d’épreuves par un arbre

En général, lorsqu’on représente par un arbre une succession d’épreuves aléatoires qui dépendent l’une de l’autre, les probabilités sur les branches diffèrent à chaque nœud.

On calcule les probabilités des événements aux extrémités des branches en multipliant les probabilités sur les branches qui y conduisent, comme indiqué sur la figure ci-dessous $\left({\text{A}}_2={\overline{\text{A}}}_1\right)$.

Rappel

La somme des probabilités des branches issues d’un même nœud est égale à 1.

II) Exemple de tirages successifs sans remise

On effectue deux tirages successifs sans remise d’une boule dans une urne comportant v boules vertes et r boules rouges.

On note ${\text{A}}_1$ (respectivement ${\text{A}}_2$) l’événement « on a tiré une boule verte (respectivement rouge) au premier tirage » et X l’événement « on a tiré une boule rouge au deuxième tirage ». On obtient l’arbre précédent.

La probabilité de tirer une boule rouge au deuxième tirage dépend de la composition de l’urne à ce tirage. Cette composition est conditionnée par le tirage précédent. Par exemple, $P_{{\text{A}}_1}\left(\text{X}\right)=\frac{r}{v+r-1}$.

Remarque : On généralise le principe de l’arbre précédent à un nombre quelconque d’événements A₁, A₂, …, A_k formant une partition de Ω.

Méthode

Modéliser une suite d’épreuves à l’aide d’un arbre

On choisit l’une des trois urnes ci-dessous au hasard. On tire alors une boule. Soit X l’événement « la boule tirée est noire ».

a. Modéliser l’expérience à l’aide d’un arbre.

b. Calculer $P\left(\text{X}\right)$.

Conseils

a. Lorsqu’on choisit l’urne au hasard, chacune a la même probabilité d’être choisie. On utilise alors le principe de l’arbre développé dans la fiche.

b. Utilisez la formule des probabilités totales.

Solution

a. Si l’urne choisie est ${\text{U}}_1$ alors la probabilité de tirer une boule noire est égale à $\frac{1}{6}$ car il y a une boule noire pour un total de six boules dans l’urne.

b. En sommant les probabilités écrites aux extrémités des branches ayant un X terminal on trouve .