Un échantillon est généralement un sous-ensemble d’une population. Ici un échantillon correspondra à des répétitions indépendantes d’une expérience modélisée par une même loi.

I) Taille d’un échantillon

Une loi de probabilité étant donnée, on appelle échantillon de taille n (ou n-échantillon) de cette loi une liste $(X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n})$ de n variables aléatoires indépendantes et identiques suivant cette loi.

Une suite x₁ ; x₂ ; … ; x_n de valeurs prises par les variables aléatoires X_i $(1 \leq i \leq n)$ est une réalisation de l’échantillon.

À noter
Toute réalisation de l’échantillon peut être assimilée à une suite de tirages « avec remise » ; la « remise » entre deux tirages successifs correspond à l’indépendance des variables aléatoires X₁, X₂, …, X_n.

Dans toute cette fiche, n est un entier naturel supérieur ou égal à 2. On suppose usuellement que la taille n de l’échantillon est « beaucoup plus petite » que celle de la population.

II) Somme et moyenne d’un échantillon

1) Définition de la somme et de la moyenne

Soit $(X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n})$ un échantillon de taille n d’une loi de probabilité.

On pose $S_{n} = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}$ (somme) et $M_{n} = \frac{S_{n}}{n}$ (moyenne).

Puisque les variables aléatoires $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}$ ont la même loi, elles ont la même espérance, notée m, la même variance, notée $σ^{2}$ , et le même écart type, noté $σ$ .

2) Espérance

D’après les propriétés de l’espérance : $E (S_{n}) = n m$ et $E (M_{n}) = m$

3) Variance

D’après les propriétés de la variance : $V (S_{n}) = n σ^{2}$ et $V (M_{n}) = \frac{1}{n} σ^{2}$

On en déduit l’écart type des variables aléatoires $S_{n}$ et $M_{n}$ :

$σ (S_{n}) = \sqrt{n} σ$ et $σ (M_{n}) = \frac{σ}{\sqrt{n}}$ .

Remarque : On constate que, lorsque n augmente, $V (M_{n})$ et $σ (M_{n})$ diminuent.

La dispersion de la moyenne $M_{n}$ diminue lorsque la taille n de l’échantillon augmente.

Méthode

Déterminer l’espérance et la variance de la moyenne de deux variables aléatoires identiques et indépendantes

Soit X₁ et X₂ deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur ${2, 3, 6, 8, 11}$ . On note M₂ la moyenne de X₁ et X₂ : $M_{2} = \frac{X_{1} + X_{2}}{2}$ .

a. Calculer l’espérance $E (M_{2})$ et la variance $V (M_{2})$ de M₂ à partir de celles de X₁ et X₂.

b. Établir la loi de M₂ et retrouver la valeur de son espérance.

Conseils
b. Utiliser un tableau à double entrée, ou bien lister tous les couples possibles pour $(X_{1}; X_{2})$ .

Solution

a. $E (M_{2}) = E (X_{1}) = E (X_{2}) = m$ et $m = \frac{2 + 3 + 6 + 8 + 11}{5} = 6$ .

Si on pose $V (X_{1}) = V (X_{2}) = σ^{2}$ , alors $V (M_{2}) = \frac{σ^{2}}{2}$ .

D’où $V (M_{2}) = \frac{10,8}{2} = 5, 4$ .

b. En listant les 25 couples (tous équiprobables) de valeurs possibles pour $(X_{1}; X_{2})$ et en calculant pour chacun la moyenne des deux valeurs, on obtient la loi de M₂.

Échantillon de taille n d’une loi de probabilité