Notions d’équation différentielle et de primitive

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Les équations différentielles permettent de relier une fonction et ses dérivées, alors que la recherche de primitives est l’opération inverse de la dérivation.

I) Solution d’une équation différentielle

Définition : On appelle équation différentielle une équation liant une fonction (qui est donc l’inconnue de l’équation) et ses dérivées.

Exemples : y=y;y=y2;y+ω2y=0.

On appelle solution de l’équation différentielle E sur un intervalle I une fonction définie sur I qui vérifie E pour tous les réels de I.

Exemples : La fonction x1x est solution sur 0;+ de l’équation différentielle y=y2. Les fonctions tcosωt et tsinωt sont solutions sur de l’équation différentielle y+ω2y=0.

Résoudre une équation différentielle E sur un intervalle I revient à trouver l’ensemble des solutions de E sur I.

Exemple : Les solutions sur de l’équation différentielle y=y sont les fonctions de la forme xCexC est un réel quelconque.

À noter

La fonction exponentielle est l’unique solution f de l’équation différentielle y=y, qui vérifie f0=1.



II) Notion de primitive et propriétés

Soit f une fonction continue sur un intervalle I.

Définition : On appelle primitive de f sur I toute solution sur I de l’équation différentielle y=f.

Conséquence : F est une primitive de f sur I si et seulement si F est dérivable sur I et :

pour tout réel x de I, Fx=fx

Propriétés :

Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.

Si F et G sont deux primitives d’une même fonction f sur I, alors il existe un réel k tel que pour tout xI,Fx=Gx+k.

À noter

Deux primitives d’une même fonction diffèrent d’une constante.

Méthode

Approcher une solution par la méthode d’Euler

On considère l’équation différentielle E:y=y+2.

On note f la solution de E telle que fx0=y0 (on admet qu’il en existe une et une seule).

Pour a>x0, écrire un algorithme qui permet de déterminer, par la méthode d’Euler, une approximation de fa, avec un pas h.

Rappel : La courbe représentative de f admet une tangente en chacun de ses points Mα;fα, et pour h très petit, on a fα+hfα+h×fα. On peut ainsi obtenir des valeurs approchées de fx pour x proche de α.

Conseils

Étape 1 On définit les suites xn et yn pour n1 par xn=xn1+h et yn=fxn. Donnez une approximation du terme général yn.

Étape 2 Écrivez l’algorithme demandé.

Solution

Étape 1 On pose M0x0;y0. On construit une suite de points Mnxn;yn tels que, pour n1,xn=xn1+h et yn=fxn=fxn1+h.

On a donc ynfxn1+h×fxn1. Or fxn1=yn1 et f est solution de E donc fxn1=fxn1+2=yn1+2. D’où ynyn11h+2h.

Étape 2

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