Représentation paramétrique d'une droite de l'espace

On se place dans un repère orthonormé $\left(O;\overrightarrow{\text{i}},\overrightarrow{\text{j}},\overrightarrow{\text{k}}\right)$ de l’espace et on caractérise une droite par un système d’équations.

I) Définition d’une représentation paramétrique

Définition On considère une droite $D$ passant par $\text{A}\left(x_{\text{A}};y_{\text{A}};z_{\text{A}}\right)$ et dont un vecteur directeur est $\overrightarrow{u}\left(\text{α};\text{β};\text{γ}\right)$.

$\text{M}\left(x;y;z\right)\in D\iff \overrightarrow{\text{AM}}\text{ et }\overrightarrow{u}\text{ sont colinéaires}$$\iff$ Il existe $t\in \text{ℝ}$ tel que $\overrightarrow{\text{AM}}=t\overrightarrow{u}$

x−xA=tαy−yA=tβz−zA=tγ  avec t∈ℝ⇔x =xA+tαy=yA+tβz=zA+tγ

Ce système est une représentation paramétrique de la droite $D$ caractérisée par la donnée du point $\text{A}$ et du vecteur $\overrightarrow{u}$.

On écrit en abrégé $D\left(\text{A};\overrightarrow{u}\right)$. On dit aussi que $\left(\text{A}\text{;}\overrightarrow{u}\right)$ est un repère de $D$.

À noter

On peut choisir pour $D$ un autre repère.

Lorsqu’aucune coordonnée de $\overrightarrow{u}$ n’est nulle, une représentation paramétrique de $D$ est équivalente aux équations : $\frac{x-x_{\text{A}}}{\text{α}}=\frac{y-y_{\text{A}}}{\text{β}}=\frac{z-z_{\text{A}}}{\text{γ}}$.

II) Droite définie par l’intersection de deux plans

En résolvant le système formé par les équations cartésiennes de deux plans sécants, on obtient une représentation paramétrique de la droite d’intersection.

En effet, le système $\{\begin{array}{c}ax+by+cz+d=0\\ a^{\prime }x+b^{\prime }y+c^{\prime }z+d^{\prime }=0\end{array}$ caractérise la droite d’intersection.

Si on choisit l’une des trois inconnues comme paramètre, par exemple en posant $z=t$ si cela est possible, on obtient le système suivant :

$\left(\begin{array}{c}ax+by=-d-ct\\ a^{\prime }x+b^{\prime }y=-d^{\prime }-c^{\prime }t\\ z=t\end{array}\right)$.

En résolvant les deux premières équations, on exprime x et y en fonction de $t$ et on obtient une représentation paramétrique de $D$.

À noter

Bien entendu, on peut choisir $x$ ou $y$ comme paramètre.

Conseils

Donnez un vecteur directeur de la droite $\left(\text{AB}\right)$, puis traduisez l’appartenance d’un point M à la droite (AB) en termes de colinéarité de vecteurs.

On obtient une autre représentation de $D$, en choisissant le point $\text{B}$ au lieu du point A.

Solution

On représente $D$ avec $\text{A}$ et $\overrightarrow{\text{AB}}$. Un vecteur directeur de la droite $\left(\text{AB}\right)$ est $\overrightarrow{\text{AB}}.$ Ses coordonnées sont $\left(-2;3;2\right)$.

D⇔ il existe $t\in \text{ℝ}$ tel que $\overrightarrow{\text{AM}}=t\overrightarrow{\text{AB}}$.

x−1=−2ty+2=3tz−1=2t avec t∈ℝ⇔x=1−2ty=−2+3tz=1+2t avec t∈ℝ.

On représente maintenant $D$ avec $\text{B}$ et $\overrightarrow{\text{AB}}$.

D⇔ il existe $t^{\prime }\in \text{ℝ}$ tel que $\overrightarrow{\text{BM}}=t^{\prime }\overrightarrow{\text{AB}}$.

x+1=−2t′y−1=3t′z−3=2t′ avec t′∈ℝ⇔x=−1−2t′y=1+3t′z=3+2t′ avec t′∈ℝ.

2) Déterminer si un point appartient à une droite

méthode 1 ci-dessus : $\text{X}\left(5;-8;-\text{}3\right)$, $\text{Y}\left(0,-\frac{1}{2}, 1\right)$.

Conseils

Choisissez d’abord une représentation paramétrique de la droite $\left(\text{AB}\right)$.

Solution

Choisissons la représentation $D\left(\text{A}, \overrightarrow{\text{AB}}\right)$. Pour le point X, on cherche $t$ de telle sorte que $\left(\begin{array}{c}5=1-2t\\ -8=-2+3t\\ -3=1+2t\end{array}\right)$. La valeur $t=-2$ convient, donc $\text{X}\in D$.

Pour le point Y, le système $\left(\begin{array}{c}0=1-2t\\ -\frac{1}{2}=-2+3t\\ 1=1+2t\end{array}\right)$ n’a pas de solution car la troisième équation fournit $t=0$ alors que 0 n’est pas solution de la première équation. Donc $\text{Y}\notin D$.