Coordonnées des points d’intersection de droites et de plans

Une représentation paramétrique d’une droite fournit un outil pour obtenir les coordonnées de points d’intersection, en particulier du projeté orthogonal d’un point sur une droite ou sur un plan.

I) Projeté orthogonal d’un point sur une droite

Étant donné un point $\text{M}$ et une droite $D\left(\text{A},\overrightarrow{u}\right)$, où $\overrightarrow{u}$ a pour coordonnées $\left(a;b;c\right),$ on veut déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $\text{H}$ de M sur $D$. On sait que $\text{H}$ est l’intersection de $D$ avec le plan $P$ perpendiculaire à $D$ passant par M().

Pour trouver les coordonnées de H, on procède par étapes.

Étape 1 Le vecteur $\overrightarrow{\text{AH}}$ est colinéaire à $\overrightarrow{u}$, donc il existe t tel que $\overrightarrow{\text{AH}}=t\overrightarrow{u}$.

On en déduit le système :

$\begin{pmatrix}<br />x_H−x_A=ta\\<br />y_H−y_A=tb\\<br />z_H−z_A=tc\\<br />\end{pmatrix}$ avec $t \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow \begin{pmatrix}<br />x_H=x_A+ta\\<br />y_H=y_A+tb\\<br />z_H=z_A+tc\\<br />\end{pmatrix}$ avec $t \in \mathbb{R}$.

Étape 2 Déterminer l’équation du plan $P$, sachant que $\text{M}\in P$ et que $\overrightarrow{u}$ est un vecteur normal à $P$.

Étape 3 Traduire l’appartenance de $\text{H}\left(x_{\text{H}};y_{\text{H}};z_{\text{H}}\right)$ à $P$ pour déterminer t, donc les coordonnées du point H.

II)Projeté orthogonal d’un point sur un plan

Soit $\text{M}$ un point et $P$ un plan dont une équation est $ax+by+cz+d=0$.

Pour déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $\text{H}\left(x_{\text{H}};y_{\text{H}};z_{\text{H}}\right)$ de $\text{M}$ sur $P$ (), on procède par étapes.

Étape 1 Le vecteur $\overrightarrow{\text{MH}}$ est colinéaire à $\overrightarrow{n}$.

Il existe donc $t\in \text{ℝ}$ tel que $\overrightarrow{\text{MH}}=t\overrightarrow{n}$, c’est-à-dire :

$\begin{pmatrix}x_H−x_M=ta\\y_H−y_M=tb\\z_H−z_M=tc\\\end{pmatrix}$ avec $t \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow \begin{pmatrix}x_H=x_M+ta\\y_H=y_M+tb\\z_H=z_M+tc\\\end{pmatrix}$ avec $t \in \mathbb{R}$.

Étape 2 $\text{H}\in P$, donc $t$ est solution de l’équation

$a\left(x_{\text{M}}+ta\right)+b\left(y_{\text{M}}+tb\right)+c\left(z_{\text{M}}+tc\right)+d=0$.

Étape 3 On trouve $t$, donc les coordonnées du point $\text{H}$.

Conseils

a. Identifiez un point A et un vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ de $D$ en utilisant le fait que $\text{M}$ appartient à $D$ si et seulement s’il existe un réel $\text{λ}$ tel que $\overrightarrow{\text{AM}}=\text{λ}\overrightarrow{u}$.

b. Les coordonnées du point d’intersection de $D$ et $P$ vérifient à la fois l’équation de $P$ et les équations paramétriques de $D$.

Solution

a. On peut écrire les équations paramétriques ainsi :

$\left(\begin{array}{c}x=2+\text{λ}\times 1\\ y=1+\text{λ}\times 1\\ z=5+\text{λ}\times 1\end{array}\right)\text{avec}\text{λ}\in \text{ℝ}$.

C’est pourquoi un vecteur directeur de $D$ a pour coordonnées $\overrightarrow{u}\left(1;1;1\right)$.

De plus, le point $\text{A}\left(2;1;5\right)$ appartient à $D$.

b. $\text{M}\in P\cap D$ si, et seulement si, ses coordonnées vérifient simultanément les équations paramétriques de $D$ et l’équation cartésienne de $P$, c’est-à-dire si il existe un réel $\text{λ}$ tel que :

$\left(2+\text{λ}\right)+2\left(1+\text{λ}\right)+\left(5+\text{λ}\right)-1=0$.

En remplaçant $\text{λ}$ par $-2$ dans les équations paramétriques de $D$, on obtient :

$\{\begin{array}{c}x=0\\ y=-1\\ z=3\end{array}$.

D perce $P$ en $\text{M}\left(0;-\text{}1;3\right)$.