Limites et asymptotes

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La notion de limite vue pour les suites peut s’étendre aux fonctions, que x tende vers +, ou vers un nombre fini.

I) Limite finie en l’infini

Définition : Dire que ℓ est la limite de f(x) quand x tend vers + signifie qu’il existe un nombre x0 tel que, pour tout xx0, tout intervalle ouvert contenant ℓ contient tous les nombres f(x).

Autrement dit, ℓ est la limite de f(x) quand x tend vers + (resp. ) si tout intervalle ouvert contenant ℓ contient tous les nombres f(x) pourvu que x soit suffisamment grand (resp. pourvu que x soit négatif et suffisamment grand en valeur absolue).

On note limx+fx=l (resp. limxfx=l).

Exemples : limx+1x=0;limx1x=0 ; limxex1=1.

Définition : Soit ℓ un nombre réel.

Dire que la droite d’équation y=l est asymptote à la courbe représentant f en + (resp. en ) signifie que limx+fx=l (resp. limxfx=l).

À noter

La courbe se rapproche de « plus en plus » de son asymptote.

II) Limite infinie en l’infini

Définition : Soit A un nombre réel. Dire qu’une fonction f tend vers +  (resp. ) quand x tend vers + ∞ signifie que tout intervalle de la forme A;+contient tous les nombres f(x) pourvu que x soit suffisamment grand.

On note limx+fx=+ et limx+fx= (resp. limxfx=±).

Exemples : Soit n un entier naturel. On a limx+xn=+ ; limxxn = + ∞ ou − ∞ selon la parité de n ; limx+x=+ ; limx+ex=+.

III) Limite infinie en un point

Définition : Dire que f a pour limite + (resp. ) en x0 signifie que tout intervalle du type ]; +[ (resp. ] ; A[) contient tous les nombres f(x), pourvu que x soit suffisamment proche de x0.

Exemples : limx0+1x=+etlimx01x=

Définition : Soit ℓ un nombre réel. La droite d’équation x=l est asymptote à la courbe représentant f si limxlfx=±.

Méthode

Lire et interpréter une limite

On considère une fonction f dont le tableau de variations est donné ci-dessous.

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a. Quel est l’ensemble de définition de f ?

b. Quelles sont les limites données dans ce tableau ? Les interpréter graphiquement, puis donner une allure de la courbe représentant f.

Conseils

Les limites de f se lisent en +, et aux points en lesquels la fonction n’est pas définie.

Solution

a. L’ensemble de définition de f est ,44,+.

b. On lit les limites suivantes : limxfx= et limx+fx=2.

Lorsque x tend vers 4 en restant supérieur à 4, on a limx4+fx=+.

À noter

limx4fx peut également se noter limx4x<4fx. Cette écriture montre bien que x se rapproche de 4 en étant dans l’intervalle ;4.

La courbe représentant f admet donc pour asymptote horizontale la droite d’équation y=2 en + et pour asymptote verticale la droite d’équation x=4.

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