L’étude de la convexité d’une fonction permet d’apporter des précisions sur la position de la courbe par rapport à ses tangentes.
I) Convexité d’une fonction
Définition : Une fonction f définie sur un intervalle I est dite convexe si la courbe représentant f est située au-dessous de chacune de ses cordes.
À noter
On appelle corde de la courbe représentant f tout segment où A et B sont deux points de .
Remarque : Une fonction f est dite concave sur un intervalle I si −f est convexe sur I. Attention, si f n’est pas convexe sur I alors f n’est pas forcément concave sur I.
Définitions équivalentes : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et soit sa courbe représentative.
f est convexe sur I si et seulement si est au-dessus de ses tangentes.
f est convexe sur I si et seulement si est croissante sur I.
II) Dérivée seconde d’une fonction
Définition : Soient f une fonction dérivable sur un intervalle I et sa dérivée sur I. Si est dérivable sur I, on appelle dérivée seconde de f sur I, la dérivée de sur I. On note cette dérivée seconde .
Propriété : f est convexe sur un intervalle I si et seulement si est positive sur I.
III) Point d’inflexion d’une courbe
Définition : Soient f une fonction définie sur un intervalle I et sa courbe représentative. On appelle point d’inflexion de , tout point de en lequel f change de convexité (elle passe de convexe à concave ou inversement).
Théorèmes :
Soit a un réel de l’ensemble de définition de f. Si f est une fonction deux fois dérivable sur I, le point est un point d’inflexion de si et seulement si s’annule et change de signe en a.
Si f est dérivable sur I, le point est un point d’inflexion de si et seulement si traverse sa tangente en I.
Méthodes
1) Étudier la convexité d’une fonction
On considère la fonction f définie sur par .
Étudier la convexité de f sur
Conseils
Étudiez la dérivabilité de f et sur et le signe de .
Solution
f est une fonction polynôme donc f est deux fois dérivable sur .
pour tout x réel, la fonction f est donc convexe sur .
2) Déterminer des points d’inflexion
Soit f la fonction définie sur par et soit sa courbe représentative. Étudier l’existence éventuelle de points d’inflexion.
Conseils
Pour déterminer les éventuels points d’inflexion de la courbe représentative d’une fonction f dérivable deux fois sur un intervalle I, il suffit de :
Étape 1 calculer ;
Étape 2 résoudre l’équation
Étape 3 étudier le signe de et déterminer si change de signe en chacune des éventuelles solutions de l’équation .
Solution
Étape 1 f est deux fois dérivable sur . Pour tout réel x :
et
Étape 2 équivaut à : , soit .
L’équation a donc trois solutions : .
Étape 3 s’annule et change de signe en , en 0 et en . admet donc trois points d’inflexion dont les abscisses sont , 0 et .