Arrangements, factorielle et combinaisons

Le nombre de listes de $\text{k}$ objets deux à deux distincts pris parmi n, ordonnées ou non, se détermine en fonction de $\text{k}$ et de $\text{n}$.

I) Arrangements et factorielle

Définition : Soit $k\in {\text{ℕ}}^{*}$. On appelle arrangement de $k$ éléments d’un ensemble E comportant $n$ éléments, tout $k$-uplet d’éléments deux à deux distincts de $\text{E}$.

Théorème : Le nombre d’arrangements de $k$ éléments d’un ensemble à $n$ éléments est $n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\dots \left(n-k+1\right)$.

Définition : La factorielle d’un entier naturel non nul $n$ est le produit des entiers naturels non nuls inférieurs ou égaux à $n$ ; elle est notée $n!$.

On convient de plus que $0!=1$.

Remarque : Un arrangement des n éléments d’un ensemble E à n éléments est appelé une permutation des éléments de E. Il y a $n!$ permutations de $\text{E}$.

À noter

Pour tout entier naturel n : $\left(n+1\right)!=\left(n+1\right)\times n!$

II) Combinaisons

Définition : Soit $k\in {\text{ℕ}}^{*}$. On appelle combinaison de $k$ éléments d’un ensemble $\text{E}$ comportant $n$ éléments, toute partie de $\text{E}$ possédant $k$ éléments.

Théorème : Soit $n\in \text{ℕ}$ et $k$ entier, $0\le k\le n$. Le nombre de combinaisons de $k$ éléments d’un ensemble à $n$ éléments est $\frac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\dots \left(n-k+1\right)}{k!}$ ou encore $\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}$.

Ce nombre est noté $\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)$ qu’on lit « $k$ parmi $n$ ».

Valeurs particulières et propriétés

Pour tous entiers naturels $n$ et $k$, $0\le k\le n$ :

$\left(\begin{array}{c}n\\ 0\end{array}\right)=1$ ; $\left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right)=n$ ; $\left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)=\frac{n\left(n-1\right)}{2}$ et $\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n\\ n-k\end{array}\right)$

nk+nk+1.

Cette relation permet de construire le triangle de Pascal qui donne la valeur des $\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)$ pour des petites valeurs de $n$ :

Conseils

Identifiez la taille des k-uplets, c’est-à-dire $k$, et l’ensemble des éléments pouvant former ces k-uplets.

Conseils

On rappelle que $\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)$ est le nombre de choix de $k$ objets parmi $n$.