Quels modèles discrets peut-on considérer pour l'étude de l'évolution d'une population ?

Qu’il s’agisse d’étudier des bactéries, les habitants d’une région ou les malades d’une épidémie, le choix du modèle pour décrire l’évolution d’une population peut avoir des conséquences importantes sur l’analyse. Ce sujet pourrait t'intéresser si tu te destines à des études médicales ou sociales.

I) Présentation d'une question (5 minutes)

Introduction

Accroche

Fin 2019 a commencé en Chine la pandémie de la Covid-19.

Présentation du sujet

Différentes prédictions ont alors été présentées au public quant au développement de l’épidémie.

Formulation de la problématique

Je me suis ainsi rendu compte que différents modèles mathématiques sont utilisés par les scientifiques pour étudier l’évolution du nombre de personnes d’une population.

Annonce du plan

Je considérerai ici deux modèles mathématiques discrets : le modèle de Malthus puis celui, plus élaboré, de Verhulst.

Conseil
Ton plan doit être simple. Commence par le modèle de Malthus, signale ses limites, avant d'arborer le modèle de Verhulst.

1) Le modèle de Malthus

D’après Thomas Malthus (1766-1834), l’accroissement annuel de la population mondiale est proportionnel à son effectif. Le coefficient de proportionnalité dépend des taux de mortalité et de fertilité.

À noter
On peut également utiliser ce modèle pour étudier l’évolution d’autres types de population, comme celle de bactéries dans un milieu donné.

Cela entraîne que, si on note $\text{H}_\text{n}$ le nombre d’habitants au bout de $\text{n}$ années, alors ( $\text{H}_\text{n}$ ) est une suite géométrique de raison $\lambda \gt 1 + f - m$ , où $f$ (resp. $m$ ) est le taux de fertilité (resp. mortalité). Le modèle obtenu est alors exponentiel. Ainsi, comme attendu :

si $f \gt m$ alors $\lambda \gt 1$ et la population croît ;
si $f = m$ alors $\lambda = 1$ et la population stagne ;
si $f \lt m$ alors $\lambda \lt 1$ et la population décroît.

On sait d’autre part qu’une suite géométrique de raison strictement comprise entre $0$ et $1$ admet pour limite $0$ , donc si $\lambda \lt 1$ ( $\lambda$ est positive), la population tend à s’éteindre. On sait également qu’une suite géométrique de raison strictement supérieure à $1$ tend vers $+ \infty$ , donc si $\lambda \gt 1$ , la population tend à devenir infinie !

Conseil
Cette limite s’obtient en utilisant l’inégalité de Bernoulli que tu pourras énoncer si le jury te le demande. Tu peux aussi t'appuyer sur un support écrit (voir ci-après).

Transition

Cette évolution n’est évidemment pas raisonnable puisque la quantité de ressources disponibles sur Terre est limitée.

2) Le modèle de Verhulst

Pour tenir compte des limites environnementales, Pierre-François Verhulst (1804-1849) adopte le modèle logistique et postule que l’évolution d’une population d’une année sur l’autre est régie par la relation :
$P(n + 1) - P(n) = aP(n)\left(1 - \dfrac{P(n)}{K}\right)$ ,

où $P(n)$ est l’effectif de la population l’année $n$ , le premier facteur $aP(n)$ tient compte de la croissance naturelle de la population et le second facteur $1-\dfrac{P(n)}{K}$ de la capacité d’accueil maximale du milieu.

Selon ce modèle, une population de petite taille a tendance à croître pour atteindre un effectif limite $K$ ; a contrario, une population de grande taille a tendance à décroître vers cette limite $K$ . Le modèle logistique d’évolution d’une population se représente par une courbe en « S » appelée sigmoïde.

Conseil
Tu pourras tracer cette sigmoïde lors du temps de préparation pour la présenter au jury. Tu pourras également écrire l’équation logistique : $P(n + 1) = \mu P(n)(1 - cP(n))$ .

Conclusion

Bilan

Comme tout modèle, on ne peut appliquer les modèles de Malthus et de Verhulst qu’à certaines situations : le modèle de Malthus est adapté à l’étude d’une population évoluant sans grande contrainte pendant un temps court ; celui de Verhulst s’applique à des populations dont les individus ont des caractéristiques identiques (taux de mortalité et de natalité homogènes…). Des modèles plus élaborés ont depuis vu le jour et l’utilisation de l’informatique permet de prendre en compte de plus en plus de paramètres.

Support écrit

Pour faciliter tes échanges avec le jury, tu peux rappeler par écrit les deux modèles qui sont au cœur de ta présentation. Tu peux également détailler la démonstration de l’inégalité de Bernoulli permettant d’étudier les limites d’une suite géométrique : cela pourra faire l’objet d’une question.

Modèle de Malthus

$P(n + 1) - P(n) =\lambda P(n)$

Modèle de Verhulst

$P(n + 1) - P(n) = aP(n)\left(1 - \dfrac{P(n)}{K}\right)$

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Limite d'une suite géométrique

Inégalité de Bernoulli : pour tout réel $x \gt 0$ et pour tout entier naturel $n$ : $(1+x)^{n} \geq 1 + nx$ .
Démonstration : $(1+x)^{0} \geq 1 + x \times 0$ (vrai pour $n = 0$ ).

Si pour un entier naturel $n$ : $(1 + x)^{n} \geq 1 + nx$ , alors :

$(1+x)^{n}(1+x) \geq (1+nx)(1+x) \geq 1 + nx + x + nx^{2} \geq 1+ (n+1)x$

Soit $(1+x)^ {n + 1} \geq 1 + (n+1)x$ (la propriété est héréditaire).

On conclut par le principe de récurrence.

II) Échange avec le jury (10 minutes)

Voici quelques-unes des questions que le jury pourrait poser en lien avec ta présentation, ainsi que les réponses possibles.

Que signifie que l’accroissement annuel de la population mondiale est proportionnel à son effectif ?

Cela signifie que si $P$ est la population mondiale une année donnée, alors l’année suivante, l’augmentation ou la diminution de la population sera égale à $k \times P$ ( $k$ étant un réel). Si $k \gt 0$ , la population augmente ; si $k \lt 0$ , elle diminue. Ainsi plus la population est importante, plus sa variation l’est.

Comment étudier la limite d’une suite géométrique de raison $q \gt 1$ ?

On connaît l’inégalité de Bernoulli qui se démontre par récurrence : pour tout réel $x \gt 0$ et pour tout entier naturel $n$ : $(1 + x)^n \geq 1 + nx$ .

Pour étudier la limite de la suite de terme général $q^{n}$ , on pose $q = 1 + x (x \gt 0)$ , on obtient $q^{n} \geq 1 + nx$ et on utilise un théorème de comparaison sur les limites.

Vous avez parlé de modèles discrets. Sauriez-vous décrire les modèles continus associés à ces deux modèles ?
Les modèles continus sont régis par des équations différentielles : pour celui de Malthus, $y′ = \lambda y$ ; pour celui de Verhulst, $y′ = a\left (1-\dfrac{y}{K}\right)$ . En effet, $y′$ représente la limite du taux d’accroissement de l’effectif de la population $y$ .

Vous avez dit que l’on pouvait utiliser le modèle de Malthus pour étudier d’autres populations que la population mondiale. Ce modèle est-il applicable à l’étude de l’évolution de la Covid-19 ?

Dans le cas d’une pandémie comme la Covid-19, la croissance du nombre de malades est exponentielle au début, ce qui correspond au modèle de Malthus. Lorsque les personnes susceptibles d’être infectées font défaut, la croissance du nombre de nouveaux cas ralentit puis s’arrête. Il faut alors se placer dans le cadre du modèle de Verhulst.

III) Échange sur le projet d'orientation (5 minutes)

Le jour J, il te faudra bien sûr développer la réponse.

Comment avez-vous choisi le sujet de votre exposé ? Quel est le lien avec votre projet d’orientation ?

J’ai choisi ce sujet car j’ai été troublé par les difficultés qu’ont eues les scientifiques à prévoir l’évolution de la pandémie de la Covid-19. Voulant travailler dans le domaine médical, je me suis demandé quelle aurait été ma conduite si j’avais été confronté dans mon métier à une telle maladie. L’an prochain, je désire intégrer la faculté de médecine dans laquelle je souhaiterais pouvoir utiliser mes compétences mathématiques pour la compréhension de l’évolution de maladies graves comme le paludisme, et de la manière de les éradiquer.

Plan détaillé sur l'étude de l'évolution d'une population