Extrema d’une fonction

Connaître le sens de variation d’une fonction permet de déterminer ses maxima et minima sur un intervalle. Cette recherche trouve des applications en physique ou en économie, notamment pour minimiser un prix.

I) Définitions

Soient f une fonction définie sur un intervalle I et x0 un élément de I.

Soit J un intervalle ouvert inclus dans I et contenant x0.

• f(x0) est un maximum local de f si, pour tout x de J, f(x) ⩽ f(x0).

• f(x0) est un minimum local de f si, pour tout x de J, f(x) ⩾ f(x0).

• f(x0) est un extremum local de f si f(x0) est un maximum ou un minimum local de f sur J.

On dit alors que f admet un maximum, un minimum ou un extremum local en x0 qui vaut f(x0).

II) Extemum et dérivée

Soient f une fonction définie sur un intervalle I et x0 un élément de I. Si f ­présente un extremum local en x0 alors f ′(x0) = 0.

À noter

La réciproque de cette propriété est fausse. En effet, la fonction cube x ↦ x³ admet pour dérivée f ′(x) = 3x². Alors f ′(0) = 0 et pourtant cette fonction n’admet pas d’extremum local en 0.

Soient f une fonction définie sur un intervalle I et x0 un élément de I. Si f ′­s’annule en x0 et change de signe en x0 alors f admet un extremum local en x0.

III) Représentation graphique

Graphiquement, si f admet un extremum local en x0, sa courbe représentative admet au point d’abscisse x0 une tangente horizontale.

Si f est croissante « avant » x0 puis décroissante, alors elle admet un maximum en x0. Si f est décroissante « avant » x0 puis croissante, alors elle admet un minimum en x0.

Exemple : Sur le graphique ci-contre, on dit que $f\left(0\right)=\frac{3}{2}$ est un maximum local sur [–1 ; 1] et $f\left(2\right)=–\frac{5}{2}$ est un minimum local sur [1 ; 3].

Méthode

Rechercher un extremum

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = 2x³ + 3x² – 12x + 7.

Démontrer que la fonction f admet un minimum local sur [–2 ; +∞[ et un maximum local sur ]–∞ ; 1].

Conseil

Étape 1. Déterminer la dérivée f ′ de f sur ℝ.

Étape 2. Étudier le signe de f ′(x) sur ℝ et dresser le tableau de variations de f.

Étape 3. À l’aide du tableau de variations de f, donner les extrema de f.

Solution

Étape 1. f est définie sur ℝ, f est une fonction polynôme de degré 3, f est donc dérivable sur ℝ et pour tout x ∈ ℝ, f′(x) = 6x²+ 6x – 12.

Étape 2. f ′(x) est un polynôme du second dégré, on détermine donc ses racines pour étudier son signe.

Calculons le discriminant : Δ = 6² – 4 × 6 × (–12) = 324 = 18².

f ′(x) a donc deux racines : $x_1=\frac{–6–18}{2\times 6}=–2$ et $x_2=\frac{–6+18}{2\times 6}=1$.

On en déduit que f ′(x) est positive sur ]–∞ ; –2] ∪ [1 ; +∞[ et négative sur ]–2 ; 1[.

f est donc croissante sur ]–∞ ; –2] et sur [1 ; +∞[ et décroissante sur ]–2 ; 1[.

On peut donc dresser le tableau de variations de f sur ℝ.

Étape 3. On voit sur le tableau de variations que la dérivée s’annule et change de signe en –2 et en 1. f(–2) et f(1) sont donc des extrema.

f est croissante sur ]–∞ ; –2] puis décroissante sur ]–2 ; 1[, f(–2) est donc un maximum local de f sur ]–∞ ; 1].

De plus f est décroissante sur ]–2 ; 1[ puis croissante sur [1 ; +∞[, donc f(1) est un minimum local sur [–2 ; +∞[.

À noter

La connaissance d’un extremum peut permettre de déterminer dans certains cas le signe de f(x) sur un intervalle, ici, pour tout x ∈ [–2 ; +∞[, f(x) ⩾ 0.