Produit scalaire et orthogonalité

Le produit scalaire de deux vecteurs peut s’exprimer à partir de leurs normes et de leur angle. L’orthogonalité de deux vecteurs, prouvée à l’aide d’un calcul de produit scalaire, est associée à la perpendicularité de deux droites.

I) Autre expression du produit scalaire

Soit $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs du plan.

Si l’un des vecteurs $\overrightarrow{u}$ ou $\overrightarrow{v}$ est le vecteur nul, alors $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=0$.

Si aucun des vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ n’est le vecteur nul, alors on considère trois points A, B et C tels que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{\text{AB}}$ et$\overrightarrow{v}=\overrightarrow{\text{AC}}$. Avec α une mesure de l’angle $\widehat{\text{BAC}}$ on a :

$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\text{AB}\times \text{AC}\times \cos \alpha$

Remarques :

• Si l’angle $\widehat{\text{BAC}}$ est aigu, alors $\alpha \in \left[0;\frac{\pi }{2}\right[$ et cos α > 0, donc $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}>0$.

• Si l’angle $\widehat{\text{BAC}}$ est obtus, alors $\alpha \in \left[\frac{\pi }{2};\pi \right[$ et cos α < 0, donc $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}<0$.

• Si $\widehat{\text{BAC}}$ est un angle droit, alors cos α = 0 et $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=0$.

II) Vecteurs orthogonaux

1)  Définition

Soit $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs du plan.

$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux si et seulement si : $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=0$

Le vecteur nul $\overrightarrow{0}$ est orthogonal à tous les vecteurs du plan.

Les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{CD}}$ sont orthogonaux.

Si $\overrightarrow{u}$ est un vecteur directeur de la droite 𝒟, alors tout vecteur non nul orthogonal à $\overrightarrow{u}$ est appelé vecteur normal à 𝒟.

2)  Critère d’orthogonalité

Si les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ont pour coordonnées (x ; y) et (x′ ; y′) dans une même base orthonormée du plan, alors $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux si et seulement si :

xx′ + yy′ = 0

Méthode

1)  Montrer que deux droites sont perpendiculaires

ABCD est un carré de côté c. Les points E et F sont définis par $\overrightarrow{\text{CE}}=\frac{3}{2}\overrightarrow{\text{CD}}$ et $\overrightarrow{\text{BF}}=\frac{3}{2}\overrightarrow{\text{BC}}$. Montrer que les droites (AF) et (BE) sont perpendiculaires.

Conseil

Utilisez la relation de Chasles pour décomposer les vecteurs $\overrightarrow{\text{AF}}$ et $\overrightarrow{\text{BE}}$ et les écrire en fonction des vecteurs $\overrightarrow{\text{AB}}$, $\overrightarrow{\text{BC}}$ et $\overrightarrow{\text{CD}}$, puis calculez leur produit scalaire.

Solution

$\overrightarrow{\text{AF}}=\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BF}}=\overrightarrow{\text{AB}}+\frac{3}{2}\overrightarrow{\text{BC}}$ et $\overrightarrow{\text{BE}}=\overrightarrow{\text{BC}}+\overrightarrow{\text{CE}}=\overrightarrow{\text{BC}}+\frac{3}{2}\overrightarrow{\text{CD}}$.

Donc $\overrightarrow{\text{AF}}\cdot \overrightarrow{\text{BE}}=\left(\overrightarrow{\text{AB}}+\frac{3}{2}\overrightarrow{\text{BC}}\right)\cdot \left(\overrightarrow{\text{BC}}+\frac{3}{2}\overrightarrow{\text{CD}}\right)$ et, en développant :

$\overrightarrow{\text{AF}}\cdot \overrightarrow{\text{BE}}=\overrightarrow{\text{AB}}\cdot \overrightarrow{\text{BC}}+\frac{3}{2}\overrightarrow{\text{AB}}\cdot \overrightarrow{\text{CD}}+\frac{3}{2}\overrightarrow{\text{BC}}\cdot \overrightarrow{\text{BC}}+\frac{9}{4}\overrightarrow{\text{BC}}\cdot \overrightarrow{\text{CD}}$.

$\overrightarrow{\text{AB}}\cdot \overrightarrow{\text{BC}}=0$ et $\overrightarrow{\text{BC}}\cdot \overrightarrow{\text{CD}}=0$ car $\overrightarrow{\text{BC}}$ est orthogonal à $\overrightarrow{\text{AB}}$ et à $\overrightarrow{\text{CD}}$.

$\overrightarrow{\text{AB}}\cdot \overrightarrow{\text{CD}}=–c^2$ et $\overrightarrow{\text{BC}}\cdot \overrightarrow{\text{BC}}=c^2$, d’où $\overrightarrow{\text{AF}}\cdot \overrightarrow{\text{BE}}=0–\frac{3}{2}{c}^2+\frac{3}{2}{c}^2+\frac{9}{4}\times 0=0$.

$\overrightarrow{\text{AF}}$ et $\overrightarrow{\text{BE}}$ sont orthogonaux, donc (AF) et (BE) sont perpendiculaires.

2)  Calculer la mesure d’un angle

Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O, I, J), on considère les points A(2 ; 4), B(–2 ; 2) et C(6 ; –2). Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{\text{AB}}\cdot \overrightarrow{\text{AC}}$ et en déduire la mesure α en degrés de l’angle $\widehat{\text{BAC}}$ à 0,1 degré près.

Conseil

Calculez les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{AC}}$. Utilisez une expression du produit scalaire pour calculer les distances AB et AC, puis cos α.

Solution

$\overrightarrow{\text{AB}}(–4 ;–2)$ et $\overrightarrow{\text{AC}}(4 ;–6)$, donc $\overrightarrow{\text{AB}}\cdot \overrightarrow{\text{AC}}=–4\times 4+(–2)\times (–6)=–4$.

On sait que $\overrightarrow{\text{AB}}\cdot \overrightarrow{\text{AC}}=\text{AB}\times \text{AC}\times \cos \alpha$ où α est la mesure de l’angle $\widehat{\text{BAC}}$.

Donc $\cos \alpha =\frac{\overrightarrow{\text{AB}}\cdot \overrightarrow{\text{AC}}}{\text{AB}\times \text{AC}}$.

Or $\text{AB}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ et $\text{AC}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$$\text{AC}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$.

Donc $\cos \alpha =\frac{–4}{2\sqrt{5}\times 2\sqrt{13}}$, soit $\cos \alpha \text{=}\text{–}\frac{1}{\sqrt{65}}$ et α = 97,1° à 0,1 degré près.