Produit scalaire de deux vecteurs

L’outil « produit scalaire » permet de résoudre de nouveaux ­problèmes de géométrie, par exemple calculer une mesure d’angle ou la longueur d’un segment.

I) Définition

À noter

Puisque $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$ et $\overrightarrow{v}\ne \overrightarrow{0}$, on a A ≠ B et A ≠ C.

Soit $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs du plan. Leur produit scalaire est un nombre réel noté $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}$ (on lit « u scalaire ν »).

Si l’un des vecteurs $\overrightarrow{u}$ ou $\overrightarrow{v}$ est le vecteur nul, alors $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=0$.

Si aucun des vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ n’est le vecteur nul, alors on considère trois points A, B et C tels que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{\text{AC}}$.

On appelle H le projeté orthogonal de C sur la droite (AB), alors :

$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\{\begin{array}{c}\text{AB}\times \text{AH si }\overrightarrow{\text{AB}}\text{ et }\overrightarrow{\text{AH}}\text{ sont de même sens}\\ –\text{AB}\times \text{AH si }\overrightarrow{\text{AB}}\text{ et }\overrightarrow{\text{AH}}\text{ sont de sens opposés}\end{array}$

Cas particulier : si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires et $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$ et $\overrightarrow{v}\ne \overrightarrow{0}$, alors :

$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\{\begin{array}{c}\left|\right|\overrightarrow{u}\left|\right|\times \left|\right|\overrightarrow{v}\left|\right|\text{si }\overrightarrow{u} \text{et }\overrightarrow{v} \text{sont de même sens}\\ –\left|\right|\overrightarrow{u}\left|\right|\times \left|\right|\overrightarrow{v}\left|\right|\text{si }\overrightarrow{u} \text{et }\overrightarrow{v} \text{sont de sens opposés}\end{array}$

Mot clé

$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{u}$ est le carré scalaire de $\overrightarrow{u}$ ; $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{u}=\left|\right|\overrightarrow{u}|{|}^2$.

II) Propriétés

Symétrie : pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{u}$.

Bilinéarité : pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ et tout réel k :

$\{\begin{array}{c}\overrightarrow{u}\cdot (\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})=\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{w}\\ \overrightarrow{u}\cdot \left(k\overrightarrow{v}\right)=\left(k\overrightarrow{u}\right)\cdot \overrightarrow{v}=k(\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v})\end{array}$

III) Expression dans une base orthonormée

Si les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ont pour coordonnées (x ; y) et (x′ ; y′) dans une même base orthonormée du plan, alors :

$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }$

Norme d’un vecteur : pour tout vecteur $\overrightarrow{u}$ de coordonnées (x ; y) dans une base orthonormée :

$\left|\text{|}\overrightarrow{u}\right|\text{|}=\sqrt{x^2+y^2}$

Méthode

Calculer des produits scalaires

Sur la figure ci-contre, ABCD est un rectangle tel que AB = 4 et BC = 3, ABE est un triangle équilatéral, H est le milieu du segment [AB].

Calculer les produits scalaires suivants :

a. $\overrightarrow{\text{BC}}\cdot \overrightarrow{\text{CD}}$b. $\overrightarrow{\text{DC}}\cdot \overrightarrow{\text{DH}}$c. $\overrightarrow{\text{AB}}\cdot \overrightarrow{\text{AC}}$d. $\overrightarrow{\text{BA}}\cdot \overrightarrow{\text{AE}}$e. $\overrightarrow{\text{AB}}\cdot \overrightarrow{\text{EC}}$

Conseil

a. Considérez les directions des deux vecteurs.

b. Décomposez le vecteur $\overrightarrow{\text{DH}}$ en utilisant la relation de Chasles.

c. Considérez le projeté orthogonal de C sur la droite (AB).

d. Remarquez que $\overrightarrow{\text{BA}}=–\overrightarrow{\text{AB}}$, puis considérez le projeté orthogonal de E sur la droite (AB).

e. Utilisez les résultats des deux questions précédentes.

Solution

a. Les droites (BC) et (CD) sont perpendiculaires, donc les vecteurs $\overrightarrow{\text{BC}}$ et $\overrightarrow{\text{CD}}$ sont orthogonaux, donc $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CD}=0$.

b. $\overrightarrow{\text{DH}}=\overrightarrow{\text{DA}}+\overrightarrow{\text{AH}}$, donc $\overrightarrow{\text{DC}}\cdot \overrightarrow{\text{DH}}\text{=}\overrightarrow{\text{DC}}\cdot \left(\overrightarrow{\text{DA}}\text{+}\overrightarrow{\text{AH}}\right)\text{=}\overrightarrow{\text{DC}}\cdot \overrightarrow{\text{DA}}\text{+}\overrightarrow{\text{DC}}\cdot \overrightarrow{\text{AH}}$.

Les vecteurs $\overrightarrow{\text{DC}}$ et $\overrightarrow{\text{DA}}$ sont orthogonaux (les droites (DC) et (DA) sont perpendiculaires), donc $\overrightarrow{\text{DC}}\cdot \overrightarrow{\text{DA}}=0$.

$\overrightarrow{\text{DC}}\cdot \overrightarrow{\text{AH}}=\text{DC}\times \text{AH}$ car les vecteurs $\overrightarrow{\text{DC}}$ et $\overrightarrow{\text{AH}}$ sont colinéaires de même sens.

Or DC = AB = 4 et $\text{AH}=\frac{1}{2}\text{AB}=2$, donc $\overrightarrow{\text{DC}}\cdot \overrightarrow{\text{AH}}=4\times 2=8$.

D’où $\overrightarrow{\text{DC}}\cdot \overrightarrow{\text{DH}}=0+8$, soit $\overrightarrow{\text{DC}}\cdot \overrightarrow{\text{DH}}=\text{8}$.

c. Le projeté orthogonal de C sur la droite (AB) est B, donc $\overrightarrow{\text{AB}}\cdot \overrightarrow{\text{AC}}=\text{AB}\times \text{AB}$, donc $\overrightarrow{\text{AB}}\cdot \overrightarrow{\text{AC}}=\text{16}$.

d. On a $\overrightarrow{\text{BA}}\cdot \overrightarrow{\text{AE}}=–\overrightarrow{\text{AB}}\cdot \overrightarrow{\text{AE}}$. Le triangle ABE est équilatéral, donc (EH) est la médiatrice du segment [AB]. Le projeté orthogonal de E sur la droite (AB) est donc H. Les vecteurs $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{AH}}$ sont colinéaires de même sens, donc $\overrightarrow{\text{AB}}\cdot \overrightarrow{\text{AE}}=\text{AB}\times \text{AH}$, donc $\overrightarrow{\text{BA}}\cdot \overrightarrow{\text{AE}}=–\text{AB}\times \text{AH}$, soit $\overrightarrow{\text{BA}}\cdot \overrightarrow{\text{AE}}=–\text{8}$.

e. Par la relation de Chasles : $\overrightarrow{\text{AB}}\cdot \overrightarrow{\text{EC}}=\overrightarrow{\text{AB}}\cdot (\overrightarrow{\text{EA}}+\overrightarrow{\text{AC}})=\overrightarrow{\text{AB}}\cdot \overrightarrow{\text{EA}}+\overrightarrow{\text{AB}}\cdot \overrightarrow{\text{AC}}$.

$\overrightarrow{\text{AB}}\cdot \overrightarrow{\text{EA}}=(–\overrightarrow{\text{BA}})\cdot (–\overrightarrow{\text{AE}})=\overrightarrow{\text{BA}}\cdot \overrightarrow{\text{AE}}$, donc $\overrightarrow{\text{AB}}\cdot \overrightarrow{\text{EA}}=–8$. De plus $\overrightarrow{\text{AB}}\cdot \overrightarrow{\text{AC}}=16$.

Donc $\overrightarrow{\text{AB}}\cdot \overrightarrow{\text{EC}}=–8+16$, soit $\overrightarrow{\text{AB}}\cdot \overrightarrow{\text{EC}}=\text{8}$.